Bisakah Anda menjelaskan perbedaan antara persamaan vektor, persamaan parametrik, dan persamaan Cartesian?


Jawaban 1:

Saya akan menggunakan persamaan pesawat di

R3\R^3

sebagai contoh.

Persamaan paling umum dari sebuah pesawat dalam bentuk kartesius adalah

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Ini hanya persamaan aljabar. persamaan kartesius hanyalah polinomial multivariat (bukan sebaliknya). Jika Anda akan menganalisis set nol dari persamaan ini dan buat grafiknya nol

R3\R^3

, maka Anda akan mendapatkan pesawat.

Persamaan vektor sebuah pesawat adalah

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Ini hanyalah persamaan yang melibatkan vektor. Sini

v0\vec{v_0}

adalah titik di pesawat dan

v1\vec{v_1}

dan

v2\vec{v_2}

adalah vektor arah (dua vektor bebas linear yang terletak pada bidang). Persamaan kedua hanyalah persamaan vektor yang diperluas dalam bentuk matriks menggunakan koordinat vektor sehubungan dengan basis standar

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

Persamaan parametrik pesawat adalah sebagai berikut

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Ini menggambarkan setiap koordinat sebagai fungsi dari dua parameter

ss

dan

tt

.