Apa perbedaan antara aljabar Boolean dan logika dan teori himpunan?


Jawaban 1:

Logika adalah rumusan aturan untuk inferensi. Bagian terpenting dari logika adalah kemampuan untuk mengambil informasi, dan menyimpulkan informasi lain darinya. Contoh yang baik adalah dua pernyataan, “Saat hujan, tanah semakin basah” dan “Hujan sekarang” berarti Anda dapat menyimpulkan bahwa tanah semakin basah saat ini.

Ada berbagai bentuk logika, dan Boolean Logic and Set Theory adalah dua contoh.

Boolean Logic adalah implementasi dari logika klasik, dengan asumsi ada 2 nilai. Ini memperkenalkan konsep kebenaran sebagai sesuatu yang relatif lebih besar daripada salah. Dengan kata lain, jika "benar" adalah T, dan "salah" adalah F, maka

TFT \geq F

. Kemudian, kita dapat menganalisis pernyataan dari sebelumnya:

  • p=It’s raining right nowp = \textsf{It's raining right now}
  • q=The ground is getting wetterq = \textsf{The ground is getting wetter}
  • pq=When it rains, the ground gets wetterp \to q = \textsf{When it rains, the ground gets wetter}

Pernyataan terakhir itu:

pqp \to q

sama dengan mengklaim itu

pqp \geq q

, atau dalam referensi, bahwa q setidaknya sama benar dengan p.

Ketika disatukan, mengetahui bahwa keduanya

pqp \to q

dan

pp

, lalu kita tahu

qq

.

Kami memperkenalkan konsep-konsep seperti:

  • pqp \wedge q
  • berarti "p DAN q"
  • pqp \vee q
  • berarti "p ATAU q"
  • ¬p\neg p
  • berarti "BUKAN"

Teori himpunan mengambil pendekatan berbeda terhadap kebenaran. Ia tertarik dengan keanggotaan. Entah sesuatu adalah anggota suatu set, atau tidak.

Dalam hal ini, kami telah menetapkan inklusi, yang artinya

ABA \subseteq B

berarti bahwa setiap elemen A termasuk dalam B (tetapi tidak harus sebaliknya). Menyatakan sebaliknya:

ABA \supseteq B

berarti bahwa setiap elemen dalam B termasuk dalam A (tetapi tidak harus sebaliknya).

Ini melayani peran implikasi dalam logika ini. Jika saya tahu itu

A\superseteqBA \superseteq B

dan semua elemen saya adalah

AA

, maka semua elemen saya juga

BB

.

Kami menyatakan bahwa elemen adalah anggota dari himpunan dengan mengatakan itu

aAa \in A

berarti bahwa "a adalah anggota himpunan A".

Contohnya adalah semua manusia

AA

juga manusia

BB

. Lalu, jika Socrates adalah manusia (

sAs\in A

), maka dia juga manusia (

sB).s\in B).

Kami juga memiliki konsep seperti:

  • ABA \cup B
  • artinya himpunan semua elemen yang ada di A dan B (persimpangan)
  • ABA \cap B
  • artinya himpunan semua elemen yang berada dalam A atau B atau keduanya (gabungan)
  • Aˉ\bar{A}
  • artinya himpunan semua elemen yang tidak dalam A (komplemen)

Aljabar Boolean secara teknis disebut kisi distributif yang lengkap, yang merupakan pembicaraan mewah untuk apa pun yang memiliki:

  • min(A,B)\min(A, B)
  • nilai terkecil (secara teknis tidak maksimal) antara A dan B. Ini adalah "AND" dalam Boolean Logic, dan persimpangan dalam teori himpunan.
  • max(A,B)\max(A, B)
  • nilai terbesar (secara teknis supremum) antara A dan B. Ini adalah "OR" dalam Boolean Logic, dan penyatuan dalam teori himpunan. Beberapa gagasan yang berlawanan. Ini adalah "BUKAN" dalam Boolean Logic, dan melengkapi dalam teori himpunan.

Tentu saja, aljabar ini mengharuskan operasi mengambil sifat-sifat tertentu untuk disebut Aljabar Boolean.

Dalam hal ini, kata Aljabar mendeskripsikan sesuatu yang memiliki sifat suka-suka dan suka-gandakan. Aljabar Boolean mengambil itu dan melanjutkannya.

Boolean Algebras juga Heyting Algebras jika kita tahu itu

¬¬a=a\neg \neg a = a

, karena mereka memiliki gagasan tentang eksponensial yang kebetulan didefinisikan sesuai dengan perkalian. Dalam Boolean Logic, inilah implikasinya. Dalam teori himpunan, ini adalah superset (tidak ketat).

Itu berarti bahwa kita memiliki undang-undang berikut:

a(bc)=(ab)ca \to (b \to c) = (a \wedge b)\to c

Yang mirip dengan eksponensial:

(cb)a=c(b×a)(c^b)^a=c^{(b\times a)}


Jawaban 2:

Aljabar Boolean adalah pengelompokan aturan tentang hal-hal yang bisa benar atau salah (dinamai sesuai nama orang yang memformalkannya).

Logika pada dasarnya adalah tentang penalaran. Karena bidangnya sendiri, ia beralasan tentang apa yang bisa dipikirkan, dan bagaimana. Ada banyak cabang pada saat ini.

Teori himpunan ketika diucapkan seperti itu (berlawanan dengan "teori himpunan", yang dapat berarti banyak hal) biasanya dipahami sebagai teori himpunan Zermelo-Fraenkel, bersama dengan mungkin aksioma tambahan. Ini adalah cara berpikir tentang koleksi yang tidak berurutan (disebut set) menggunakan sejumlah kecil aksioma, dan memperluasnya untuk memasukkan hal-hal seperti apa berbagai macam angka didasarkan pada aksioma tersebut.